هندسه ساختارهای خودمتشابه
فراکتال‌ها مفاهبم هندسی هستند که در چند سال اخیر و به خصوص پس از کارهای بندیت مندلبورت، ریاضیدان لهستانی بر روی آنها، بسیار مورد توجه دانشمندان علوم قرار گرفته است.
مفاهیمی که خواص آنها به اندازه‌شان بستگی ندارد، در فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی، زمین‌شناسی و پزشکی بسیار دیده شده‌اند و از خواص آنها می‌توان برای درک بهتر پدیده‌های مورد نظر استفاده کرد. تاکنون تعریف دقیقی از ماهیت فراکتال‌ها نشده است اما از یک دیدگاه کلی می‌توان گفت که فراکتال موجودی هندسی است که قوانین کلی حاکم بر آن وابسته به مقیاسی که در آن کار می‌کنیم نیست. یعنی جزئیات آن شبیه کل هستند. فراکتال‌ها جزئیات نامحدودی دارند که دارای ساختاری خودمتشابه در مقادیر مختلف بزرگنمایی، هستند. در اکثر موارد یک قانون و قاعده خاصی به میزان نامحدودی تکرار می‌شود تا یک طرح فراکتالی پدید آید. واژه فراکتال در سال 1975 توسط «بندیت مندلبورت» پدر فراکتال ابداع شد.

ریشه این لغت عبارت لاتین Fractus به معنی «شکسته» است. پیش از اینکه مندلبورت این واژه را ابداع کند، برای چنین اشکالی، از واژه «منحنی‌های هیولایی» استفاده می‌شد. فراکتال‌ها را عموماً موجوداتی ریاضی می‌پندارند و این به علت مشهور بودن ساختار «فراکتال هندسی» است اما نشان داده شده است که بسیاری از وضعیت‌های که هندسه کلاسیک (اقلیدسی) از توضیح آنها عاجز است، توسط فراکتال‌ها، به راحتی بیان می‌شود. به همین دلیل فراکتال‌ها کاربردهای بسیاری در علوم پیدا کرده‌اند، از فیزیک و شیمی و هواشناسی گرفته تا بیولوژی ملکولی و پزشکی، از قوانین حاکم بر فراکتال‌ها استفاده می‌شود.
فراکتال‌های هندسی
ساده‌ترین نوع فراکتال، فراکتال کانتور است. پاره‌خطی به طول یک واحد در نظر بگیرید و طول آن را به سه قسمت تقسیم کرده و قسمت وسطی را حذف کنید. حالا دو خز داریم که طول هریک از آنها یک‌سوم طول اولیه است. همین عمل را با هر کدام از این پاره‌خط‌ها انجام می‌دهیم. یعنی طول هرکدام را ثلث می‌کنیم و قسمت وسطی را حذف می‌کنیم. می‌توان با کامپیوتر برنامه‌ای نوشت که این عملیات را چندین بار پیاپی انجام دهد. اگر این عمل را بی‌شمار بار انجام دهیم (کاری که از عهده کامپیوتر خارج است) شکلی به دست می‌آید که مجموعه کانتور نام دارد. اگر به کل شکل نگاه کنیم، ساختاری می‌بینیم که تا بی‌نهایت ادامه دارد. اگر به سمت راست یا چپ خط دوم شکل نگاه کنیم ساختاری می‌بینیم که بازهم تا بی‌نهایت ادامه یافته و در عین حال، کاملاً شبیه شکل کلی است. چنین ساختارهایی که هر جزء آن با کل مجموعه یکی است و فقط در مقیاس (Scalc) تفاوت دارند را ساختارهای خودمتشابه Self-similar می‌گویند.
یکی از مشهورترین فراکتالها توسط «هلک‌فون‌کخ» در سال 1904 طراحی شد. در این نوع فراکتال، ابتدا یک پاره‌خط به طول یک واحد در نظر می‌گیریم و آن را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم. سپس به جای ضلع وسط دو ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع را قرار می‌دهیم و این کار را همین‌طور ادامه می‌دهیم. فراکتال کخ نیز یک نوع فراکتال خودمتشابه است. اگر این عمل را روی اضلاع یک متساوی‌الاضلاع انجام دهیم، شکل بسیار زیبایی پدید می‌آید که «دانه‌برفی‌کخ» نام دارد. فراکتال سرپینسکی یک فراکتال هندسی است. اگر مثلث وسطی یک مثلث متساوی‌الاضلاع را حذف کنیم و برای همه مثلث‌های باقی‌مانده هم این عمل را تا بی‌نهایت انجام دهیم، مجموعه زیبایی از مثلث‌های پر و خالی به وجود می‌آید که فراکتال سرپینسکی به دست خواهد آمد. در همه انواع فراکتال‌های خودمتشابه برای تبدیل هر جزء به کل یا اجزای کوچکتر، باید همه ابعاد به یک مقیاس بزرگ شوند. اما نوع دیگر فراکتال را خودالحاقی Self-Affine می‌گویند. در این نوع فراکتال‌‌ها برای تبدیل شدن به مقیاس بزرگتر باید شکل در هر راستا به ضرایب مختلفی بزرگ‌نمایی شود. (DNA Walk) DNA می‌گویند.
در طبیعت مثل ریشه‌های گیاهان یا شاخه‌های درخت‌ها، ساختارهای خوشه‌ها و کهکشان‌های کیهان، رشد یک سطح، سوختگی‌های روی کاغذ، شکستگی‌های DVDها و ساختارهای زمین‌شناسی به خصوص اشکال زیبایی که در غارها مشاهده می‌شود، خواص فراکتالی خودالحاقی دارند. یکی از زیباترین نمونه‌های فراکتالی گل‌کلم است.